9303753286127016 अनुपात एवं समानुपात: फार्मूला, ट्रिक, उदहारण और ऑनलाइन टेस्ट

अनुपात एवं समानुपात: फार्मूला, ट्रिक, उदहारण और ऑनलाइन टेस्ट


अनुपात (Ratio) : अनुपात हमेशा दो सजातीय राशि में होता है। एक राशि का दूसरी राशि में भाग देने पर अनुपात प्राप्त होता है। जैसे यदि A राशि को B राशि से भाग दिया जाये, तब ratio-proportion-f-h-10953.png को A तथा B का अनुपात कहते हैं। इसे निम्न प्रकार लिखते हैं :

ratio-proportion-f-h-10959.png

अतः अनुपात A : B में A को प्रथम पद तथा B को द्वितीय पद कहा जाता है। यदि किसी अनुपात के प्रत्येक पद को 0 को छोड़कर किसी निश्चित संख्या से गुणा या भाग करते हैं तो वह अनुपात अपरिवर्तित रहता है।


अनुपात के गुण (Properties of Ratio)


a : b = m a : m b, जहाँ m एक स्थिरांक है।

a : b : c = A : B : C जो समतुल्य है ratio-proportion-f-h-10967.png के।

यह एक महत्वपूर्ण गुण है जो तीन राशियों के अनुपात में उपयोग होता है।

यदि ratio-proportion-f-h-10973.png,

तो ratio-proportion-f-h-10979.png

अनुपात का यह गुण कम्पोनेंडो (Componendo) कहलाता है

उदाहरण के लिए : ratio-proportion-f-h-10985.png

इसलिए, ratio-proportion-f-h-10997.png

ratio-proportion-f-h-10991.png

ratio-proportion-f-h-11004.png

यह गुण डिविडेंडो (Dividendo) कहलाता है।

उदाहरण के लिए: ratio-proportion-f-h-11012.png

इसलिए, ratio-proportion-f-h-11018.png

ratio-proportion-f-h-11025.png

यह गुण कम्पोनेंडो और डिविडेंडो (Componendo and Dividendo) कहलाता है।

उदाहरण के लिए: ratio-proportion-f-h-11032.png

इसलिए, ratio-proportion-f-h-11045.pngratio-proportion-f-h-11039.png

यदि ratio-proportion-f-h-11051.png

तो ratio-proportion-f-h-11057.png = प्रत्येक का अलग-अलग अनुपात

उदाहरण के लिए: ratio-proportion-f-h-11063.png

इसलिए ratio-proportion-f-h-11070.png

यदि A > B तब ratio-proportion-f-h-11076.png जहाँ A, B और C प्राकृतिक संख्याएँ हैं।

उदाहरण के लिए: 3 > 2,

तब, ratio-proportion-f-h-11083.png[क्योंकि ratio-proportion-f-h-11096.png]

यदि A < B

तो ratio-proportion-f-h-11102.png

जहाँ A, B और C प्राकृतिक संख्याएँ हैं।

उदाहरण के लिए: 2 < 3,

तब, ratio-proportion-f-h-11108.png[क्योंकि ratio-proportion-f-h-11114.png]




एक दी हुई राशि को दिये गये अनुपात में विभाजित करना

माना एक दी हुई राशि ‘a’ को अनुपात m : n में विभाजित करना है।

माना दी हुई राशि का एक भाग x है तो दूसरा भाग a – x होगा।

∴ ratio-proportion-f-h-11122.png

या nx = ma – mx

या (m + n) x = ma

∴ पहला भाग है ratio-proportion-f-h-11135.png

और दूसरा भाग होगा ratio-proportion-f-h-11143.png

उदाहरण 1. 70 को 3 : 7 अनुपात में विभाजित कीजिए।

हल: माना पहला भाग x है, तो दूसरा भाग = 70 – x

∴ ratio-proportion-f-h-11149.png

या  7x = 210 – 3x

या  x = 21 और 70 – x = 49

अतः 70 के दो अभीष्ट भाग 21 और 49 हैं।

उदाहरण 1. 70 को 3 : 7 अनुपात में विभाजित कीजिए।

हल: माना पहला भाग x है, तो दूसरा भाग = 70 – x

∴ ratio-proportion-f-h-11149.png

या  7x = 210 – 3x

या  x = 21 और 70 – x = 49

अतः 70 के दो अभीष्ट भाग 21 और 49 हैं।

किसी द्विआयामी चित्रों में, यदि भुजाओं का अनुपात x : y हो, तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात x² : y² होगा।

उदाहरण 2. दो वृतों की त्रिज्याओं का अनुपात 2 : 5 है। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात करें।

हल: उनके क्षेत्रफलों का अनुपात = 2² : 5² = 4 : 25

किसी त्रिआयामी चित्रों में, यदि भुजाओं का अनुपात x : y हो, तो उनके आयतनों का अनुपात x³ : y³ होगा। यदि दो संख्याओं का अनुपात a : b है और यदि प्रत्येक संख्या में x वृद्धि होने पर अनुपात c : d हो जाए तब, दो संख्याओं का योग

ratio-proportion-f-h-11156.png

दो संख्याओं का अंतर

ratio-proportion-f-h-11163.png

दो दी हुई संख्याएँ हैं

ratio-proportion-f-h-11170.png और ratio-proportion-f-h-11176.png




उदाहरण 3. दो संख्याओं का अनुपात 3 : 4 है। यदि प्रत्येक संख्या में 2 की वृद्धि हो, तो अनुपात 7 : 9 हो जाता है। संख्याएँ ज्ञात करें।

हल: संख्याएँ हैं

ratio-proportion-f-h-11182.png और ratio-proportion-f-h-11188.png

या 12 और 16

यदि दो संख्याओं का योग A और अंतर a हो, तो दी हुई संख्याओं का अनुपात A + a : A – a होगा।

उदाहरण 4. दो संख्याओं का योग 60 और अंतर 6 है। संख्याओं का अनुपात क्या होगा?

हल: संख्याओं का अभीष्ट अनुपात

ratio-proportion-f-h-11197.png

या 11 : 9

समानुपात (Proportion)

जब दो अनुपात बराबर होते हैं तो वे समानुपात कहलाते हैं।

जैसे- ratio-proportion-f-h-11203.png ⇒ A : B : : C : D यहाँ AD = BC

उदाहरण 5. यदि 12 : 18 : : x : 24 हो, तो x का मान कितना होगा?

हल: 12 : 18 : : x : 24

⇒ 12 × 24 = 18 × x

⇒ x = ratio-proportion-f-h-11209.png = 16

समानुपात के प्रकार





















निरंतर समानुपात: यदि तीन संख्याएँ a, b और c निरंतर समानुपात में हो, तो हम कह सकते हैं कि a, b और c समानुपात में हैं।

तो, ratio-proportion-f-h-11216.png

b² = ac ⇒ b =ratio-proportion-f-h-11222.png

अतः हम कह सकते हैं कि ‘a’ पहला समानुपात, ‘c’ तीसरा समानुपात और ‘b’ मध्य समानुपात है।

प्रत्यक्ष समानुपात: यदि X, Y के प्रत्यक्ष समानुपाती हो तो किसी एक के बढ़ने या घटने पर दूसरे पर उसका सीधा प्रभाव पड़ेगा। यदि X बढ़ता है तो Y भी बढ़ेगा और यदि X घटता है तो Y भी घटेगा।

व्युत्क्रम समानुपात: यदि X, Y के व्युत्क्रमानुपाती हो यानी दोनों में किसी एक के बढ़ने या घटने पर दूसरे पर उसका व्युत्क्रम प्रभाव पड़ेगा। यदि X के बढ़ने पर Y घटे और X के घटने पर Y बढ़े तो इस समानुपात को व्युत्क्रम समानुपात कहते हैं।

  • यदि चार राशियाँ समानुपात में हो तो किनारे की राशियों का गुणनफल, बीच की राशियों के गुणनफल के बराबर होता है।

माना a, b, c, d चार राशियाँ समानुपात में हैं, तो ratio-proportion-f-h-11231.png

तब ad = bc

  • यदि तीन राशियाँ a, b और c निरंतर समानुपात में हो, तो a : b = b : c

तब ac = b²

b मध्य समानुपात कहलाता है।

  • यदि तीन राशियाँ समानुपात में हो तो पहली और तीसरी राशि का अनुपात, पहली और दूसरी राशि के अनुपात के समान होता है।

यदि a : b : : b : c तो a : c = a² : b²

मध्य समानुपात ज्ञात करना

उदाहरण 6. 3 और 75 के बीच मध्य समानुपात ज्ञात करें।

हल: माना x अभीष्ट समानुपात है, तो 3 : x : : x : 75

∴ x = ratio-proportion-f-h-11237.png

जब चार राशियाँ समानुपात में हो, तो अज्ञात मान ज्ञात करनाः




उदाहरण 7. चार संख्याएँ 10, 18, 22, 38 में प्रत्येक में कौन-सी संख्या जोड़ी जाए कि वे समानुपात में हो जाएँ?

हल: माना कि अभीष्ट संख्या x है प्रश्न के अनुसार, हम पाते हैं

(10 + x) : (18 + x) : : (22 + x) : (38 + x)

⇒ (10 + x) (38 + x) = (18 + x) (22 + x)

⇒ 380 + 48x + x² = 396 + 40x + x²

⇒ 380 + 48x = 396 + 40x

⇒ 48x – 40x = 396 – 380

⇒ 8x = 16

⇒ ratio-proportion-f-h-11243.png

अतः चारों दी हुई संख्याओं में, 2 जोड़ी जानी चाहिए।

चौथा समानुपात ज्ञात करना

उदाहरण 8. p² – pq + q², p³ + q³, p – q का चौथा समानुपात ज्ञात करें।

हल: माना x चौथा समानुपात है

∴ (p²– pq + q²) : (p³ + q³) = (p – q) : x

⇒ (p² – pq + q²) × x = (p³ + q³) (p – q)

∴ ratio-proportion-f-h-11251.png

⇒ ratio-proportion-f-h-11259.png

⇒ ratio-proportion-f-h-11265.png

∴ अभीष्ट चौथा समानुपात p² – q² है।

तीसरा समानुपात ज्ञात करना

उदाहरण 9. a² – b² और a + b के बीच तीसरा समानुपात ज्ञात करें।

हल: माना x अभीष्ट तीसरा समानुपात है,

तब, a² – b² : a + b = a + b : X

∴ (a² – b²) x = (a + b) (a + b)

∴ ratio-proportion-f-h-11272.png






Balkishan Agrawal

At the helm of GMS Learning is Principal Balkishan Agrawal, a dedicated and experienced educationist. Under his able guidance, our school has flourished academically and has achieved remarkable milestones in various fields. Principal Agrawal’s vision for the school is centered on providing a nurturing environment where every student can thrive, learn, and grow.

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